高中数学做题的一些思想

　　在高中学习中，有的同学感到做题没有头绪不知道如何下手，他们的数学成绩也总是提不上去的，那么在数学学习中有没有一些好的学习方法呢?或者说是学习的一些技巧?答案是肯定的，下面我们就平常我们做的例题中一起来看看在数学学习中有哪些技巧可言。

　　一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

　　配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab=(a+b2)2+(32b)2; a2+b2+c2+ab+bc+ca=12[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2] a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)2-2(ab-bc-ca)=… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，

　　如： 1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2; x2+12x=(x+1x)2-2=(x-1x)2+2 ;…… 等等。 Ⅰ、再现性题组再现性题组：：1. 在正项等比数列{an}中，a1󰂌a5+2a3󰂌a5+a3󰁸a7=25，则 a3+a5=_______。 2. 方程x2+y2-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。 A. 141 C. k∈R D. k=14或k=1 3. 已知sin4α+cos4α=1，则sinα+cosα的值为______。 A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0 4. 函数y=log12 (-2x2+5x+3)的单调递增区间是_____。 A. (-∞, 54] B. [54,+∞) C. (-12,54] D. [54,3) 5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a=_____。 【简解】 1小题：利用等比数列性质amp−amp+=am2，将已知等式左边后配方(a3+a5)2易求。答案是：5。

　　2小题：配方成圆的标准方程形式(x-a)2+(y-b)2=r2，解r2>0即可，选B。

　　3小题：已知等式经配方成(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。

　　4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题：答案3-11。 Ⅱ、示范性题组：

　　44 例1.1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则211424()()xyyzxzxyz++=++= ,而欲求对角线长xyz222++，将其配凑成两已知式的组合形式可得。 【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xyyzxzxyz++=++=。 长方体所求对角线长为：xyz222++=()()xyzxyyzxz++−++22=6112−=5 所以选B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。 例2. 设方程x2+kx+2=0的两实根为p、q，若(pq)2+(qp)2≤7成立，求实数k的取值范围。 【解】方程x2+kx+2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p+q=-k，pq=2 , (pq)2+(qp)2=pqpq442+()=()()pqpqpq2222222+−=[()]()pqpqpqpq+−−2222222=()k22484−−≤7， 解得k≤-10或k≥10 。 又 ∵p、q为方程x2+kx+2=0的两实根， ∴ △=k2-8≥0即k≥22或k≤-22综合起来，k的取值范围是：-10≤k≤-22 或者 22≤k≤10。 【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p+q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p+q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。 例3.3. 设非零复数a、b满足a2+ab+b2=0，求(aab+)1998+(bab+)1998 。 【分析】 对已知式可以联想：变形为(ab)2+(ab)+1=0，则ab=ω (ω为1的立方虚根);或配方为(a+b)2=ab 。则代入所求式即得。 【解】由a2+ab+b2=0变形得：(ab)2+(ab)+1=0 ，

　　55 设ω=ab，则ω2+ω+1=0，可知ω为1的立方虚根，所以：1ω=ba，ω3=ω3=1。又由a2+ab+b2=0变形得：(a+b)2=ab ， 所以 (aab+)1998+(bab+)1998=(aab2)999+(bab2)999=(ab)999+(ba)999=ω999+ω999=2 。 【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。 【另解】由a2+ab+b2=0变形得：(ab)2+(ab)+1=0 ，解出ba=−±132i后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(ab)999+(ba)999后，完成后面的运算。此方法用于只是未−±132i联想到ω时进行解题。 假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2+ab+b2=0解出：a=−±132ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。 Ⅲ、巩固性题组巩固性题组：：1.函数y=(x-a)2+(x-b)2 (a、b为常数)的最小值为_____。 A. 8 B. ()ab−22 C. ab222+ D.最小值不存在 2.α、β是方程x2-2ax+a+6=0的两实根，则(α-1)2 +(β-1)2的最小值是_____。A. -494 B. 8 C. 18 D.不存在 3.已知x、y∈R+，且满足x+3y-1=0，则函数t=2x+8y有_____。 A.最大值22 B.最大值22 C.最小值22 B.最小值224.椭圆x2-2ax+3y2+a2-6=0的一个焦点在直线x+y+4=0上，则a=_____。 A. 2 B. -6 C. -2或-6 D. 2或6 5.化简：218−sin+228+cos的结果是_____。 A. 2sin4 B. 2sin4-4cos4 C. -2sin4 D. 4cos4-2sin4 6. 设F1和F2为双曲线x24-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是_________。 7. 若x>-1，则f(x)=x2+2x+11x+的最小值为___________。 8. 已知π2〈β<α〈34π，cos(α-β)=1213，sin(α+β)=-35，求sin2α的值。(92年高考题) 9. 设二次函数f(x)=Ax2+Bx+C，给定m、n(m

　　66 ① 解不等式f(x)>0; ② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ?若不存在，说出理由;若存在，指出t的取值范围。 10. 设s>1，t>1，m∈R，x=logst+logts，y=logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s), ① 将y表示为x的函数y=f(x)，并求出f(x)的定义域; ② 若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实根，求m的取值范围。33 第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab=(a+b2)2+(32b)2; a2+b2+c2+ab+bc+ca=12[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2] a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)2-2(ab-bc-ca)=… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2; x2+12x=(x+1x)2-2=(x-1x)2+2 ;…… 等等。 Ⅰ、再现性题组再现性题组：：1. 在正项等比数列{an}中，a1󰂌a5+2a3󰂌a5+a3󰁸a7=25，则 a3+a5=_______。 2. 方程x2+y2-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。 A. 141 C. k∈R D. k=14或k=1 3. 已知sin4α+cos4α=1，则sinα+cosα的值为______。 A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0 4. 函数y=log12 (-2x2+5x+3)的单调递增区间是_____。 A. (-∞, 54] B. [54,+∞) C. (-12,54] D. [54,3) 5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a=_____。 【简解】 1小题：利用等比数列性质amp−amp+=am2，将已知等式左边后配方(a3+a5)2易求。答案是：5。 2小题：配方成圆的标准方程形式(x-a)2+(y-b)2=r2，解r2>0即可，选B。 3小题：已知等式经配方成(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。 4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题：答案3-11。 Ⅱ、示范性题组：

　　44 例1.1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则211424()()xyyzxzxyz++=++= ,而欲求对角线长xyz222++，将其配凑成两已知式的组合形式可得。 【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xyyzxzxyz++=++=。 长方体所求对角线长为：xyz222++=()()xyzxyyzxz++−++22=6112−=5 所以选B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。 例2. 设方程x2+kx+2=0的两实根为p、q，若(pq)2+(qp)2≤7成立，求实数k的取值范围。 【解】方程x2+kx+2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p+q=-k，pq=2 , (pq)2+(qp)2=pqpq442+()=()()pqpqpq2222222+−=[()]()pqpqpqpq+−−2222222=()k22484−−≤7， 解得k≤-10或k≥10 。 又 ∵p、q为方程x2+kx+2=0的两实根， ∴ △=k2-8≥0即k≥22或k≤-22综合起来，k的取值范围是：-10≤k≤-22 或者 22≤k≤10。 【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p+q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p+q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。 例3.3. 设非零复数a、b满足a2+ab+b2=0，求(aab+)1998+(bab+)1998 。 【分析】 对已知式可以联想：变形为(ab)2+(ab)+1=0，则ab=ω (ω为1的立方虚根);或配方为(a+b)2=ab 。则代入所求式即得。 【解】由a2+ab+b2=0变形得：(ab)2+(ab)+1=0 ，

　　55 设ω=ab，则ω2+ω+1=0，可知ω为1的立方虚根，所以：1ω=ba，ω3=ω3=1。又由a2+ab+b2=0变形得：(a+b)2=ab ， 所以 (aab+)1998+(bab+)1998=(aab2)999+(bab2)999=(ab)999+(ba)999=ω999+ω999=2 。 【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。 【另解】由a2+ab+b2=0变形得：(ab)2+(ab)+1=0 ，解出ba=−±132i后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(ab)999+(ba)999后，完成后面的运算。此方法用于只是未−±132i联想到ω时进行解题。 假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2+ab+b2=0解出：a=−±132ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。 Ⅲ、巩固性题组巩固性题组：：1.函数y=(x-a)2+(x-b)2 (a、b为常数)的最小值为_____。 A. 8 B. ()ab−22 C. ab222+ D.最小值不存在 2.α、β是方程x2-2ax+a+6=0的两实根，则(α-1)2 +(β-1)2的最小值是_____。A. -494 B. 8 C. 18 D.不存在 3.已知x、y∈R+，且满足x+3y-1=0，则函数t=2x+8y有_____。 A.最大值22 B.最大值22 C.最小值22 B.最小值224.椭圆x2-2ax+3y2+a2-6=0的一个焦点在直线x+y+4=0上，则a=_____。 A. 2 B. -6 C. -2或-6 D. 2或6 5.化简：218−sin+228+cos的结果是_____。 A. 2sin4 B. 2sin4-4cos4 C. -2sin4 D. 4cos4-2sin4 6. 设F1和F2为双曲线x24-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是_________。 7. 若x>-1，则f(x)=x2+2x+11x+的最小值为___________。 8. 已知π2〈β<α〈34π，cos(α-β)=1213，sin(α+β)=-35，求sin2α的值。(92年高考题) 9. 设二次函数f(x)=Ax2+Bx+C，给定m、n(m

　　66 ① 解不等式f(x)>0; ② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ?若不存在，说出理由;若存在，指出t的取值范围。 10. 设s>1，t>1，m∈R，x=logst+logts，y=logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s), ① 将y表示为x的函数y=f(x)，并求出f(x)的定义域; ② 若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实根，求m的取值范围。

　　数学学习只要我们掌握了一定的技巧，就有很容易在平时的学习中获得很好的成绩，以上的这些例子和方法都是大家在平常的学习中很常见的希望大家能够掌握体会。